softmax是一个经典的多分类概率分布的公式，有n个类，softmax公式如下，

$$ \text{softmax}(z)_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{i=1}^n e^{z_i}}, \quad j = 1, 2, \dots, n $$

首先，考虑一个样本每个类的预测分数做一个softmax，转换成每类预测的概率形式。

$$ a^{[L]} = \text{softmax}(z^{[L]}) $$$$ \hat{y} = a^{[L]}\quad $$

然后，利用样本标签，结合极大似然估计的损失函数如下。

$$ L(\hat{y}, y) = - \sum_{i=1}^{n} y_i \log(\hat{y}_i) $$

由于需要做反向传播，我们想求 $\frac{\partial L}{\partial z^{[L]}}$，也就是做完softmax的前的偏导数。

假设 $y$ 的分类为 $1$，则 $y_1 = 1$，其余 $y_j = 0\ (j\neq 1)$，$y=[1,0,.....,0]$ 则有，

$$ L(\hat{y}, y) = -\log(\hat{y}_1) $$$$ L(\hat{y}, y) = - \ln \left( \frac{e^{z_1^{[L]}}}{e^{z_1^{[L]}} + e^{z_2^{[L]}} + \cdots + e^{z_n^{[L]}}} \right), \quad S = e^{z_1^{[L]}} + e^{z_2^{[L]}} + \cdots + e^{z_n^{[L]}} $$

接下来求 $Z^{[L]}$ 的偏导，

$$ \frac{\partial L}{\partial z^{[L]}_1} = -\frac{S}{e^{z^{[L]}_1}} \cdot \frac{e^{z^{[L]}_1} \cdot S - \big(e^{z^{[L]}_1}\big)^2}{S^2} = \frac{e^{z^{[L]}_1}}{S} - 1 $$$$ \frac{\partial L}{\partial z^{[L]}_j} = - \frac{S}{e^{z^{[L]}_1}} \cdot \frac{-e^{z^{[L]}_1} \cdot e^{z^{[L]}_j}}{S^2} = \frac{e^{z^{[L]}_j}}{S}, \quad j \neq 1 $$

因为，

$$ a_j^{[L]} = \frac{e^{z_j^{[L]}}}{S}, $$

所以，

$$ \frac{\partial L}{\partial z^{[L]}_1} = a_1^{[L]} - 1 $$$$ \frac{\partial L}{\partial z^{[L]}_j} = a_j^{[L]}, \quad (j \neq 1) $$

由于不同分类标签的对称性，从而得到最终化简结果，

$$ \frac{\partial L}{\partial z^{[L]}} = \hat{y} - y $$

对于多样本，每个样本间独立，则有，

$$ \frac{\partial L}{\partial Z^{[L]}} = \hat{Y} - Y $$